Найдите объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с гипотенузой 10 см и острым углом 30° вокруг меньшего катета.

Решение:

Обозначим прямоугольный треугольник как ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \), \( AB = 10 \) см, \( \angle A = 30^{\circ} \).

Меньший катет — это сторона, противолежащая меньшему углу. В данном случае, это катет BC, противолежащий углу A (30°), так как другой острый угол \( \angle B = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов образуется конус. В данном случае, вращение происходит вокруг катета BC, который станет высотой конуса (h).

Катет AC станет радиусом основания конуса (R).

Найдем длины катетов:

\( AC = AB \cdot \cos(30^{\circ}) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \) см.

\( BC = AB \cdot \sin(30^{\circ}) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \) см.

Меньший катет — это BC, его длина равна 5 см. Он будет высотой конуса: \( h = 5 \) см.

Больший катет — это AC, его длина равна \( 5\sqrt{3} \) см. Он будет радиусом основания конуса: \( R = 5\sqrt{3} \) см.

Объем конуса вычисляется по формуле: \( V = \frac{1}{3} \pi R^2 h \).

Подставим значения:

\[ V = \frac{1}{3} \pi (5\sqrt{3})^2 \cdot 5 \]

\[ V = \frac{1}{3} \pi (25 \cdot 3) \cdot 5 \]

\[ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 75 \cdot 5 \]

\[ V = 25 \pi \cdot 5 \]

\[ V = 125\(\pi\) \) см³.

Ответ: Объем тела равен \( 125\pi \) см³.