433. Решите систему уравнений: в) {x² - 3y² = 52, {y - x = 14;

Решим систему уравнений:

• Выразим y через x из второго уравнения: $$y = x + 14$$.
• Подставим это выражение в первое уравнение: $$x^2 - 3(x + 14)^2 = 52$$.
• Раскроем скобки и приведем к квадратному уравнению: $$x^2 - 3(x^2 + 28x + 196) = 52$$ или $$x^2 - 3x^2 - 84x - 588 = 52$$.
• Преобразуем: $$-2x^2 - 84x - 640 = 0$$ или $$2x^2 + 84x + 640 = 0$$.
• Разделим уравнение на 2 для упрощения: $$x^2 + 42x + 320 = 0$$.
• Решим квадратное уравнение. Дискриминант: $$D = 42^2 - 4(1)(320) = 1764 - 1280 = 484$$.
• Корни уравнения: $$x_1 = \frac{-42 + \sqrt{484}}{2} = \frac{-42 + 22}{2} = \frac{-20}{2} = -10$$, $$x_2 = \frac{-42 - \sqrt{484}}{2} = \frac{-42 - 22}{2} = \frac{-64}{2} = -32$$.
• Найдем соответствующие значения y: если $$x_1 = -10$$, то $$y_1 = -10 + 14 = 4$$; если $$x_2 = -32$$, то $$y_2 = -32 + 14 = -18$$.

Ответ: (-10, 4), (-32, -18)