4. Решите систему уравнений 1 1 1 {--- = -- = --,, X y 20 (x + 2y = 14.

Ответ: (x=10, y=2)

Решение:

• Дана система уравнений: \[\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{20} \\ x + 2y = 14 \end{cases}\]
• Выразим x из второго уравнения: \[x = 14 - 2y\]
• Подставим выражение для x в первое уравнение: \[\frac{1}{14 - 2y} - \frac{1}{y} = \frac{1}{20}\]
• Приведем к общему знаменателю: \[\frac{y - (14 - 2y)}{y(14 - 2y)} = \frac{1}{20}\] \[\frac{3y - 14}{14y - 2y^2} = \frac{1}{20}\]
• Перемножим крест-накрест: \[20(3y - 14) = 14y - 2y^2\] \[60y - 280 = 14y - 2y^2\] \[2y^2 + 46y - 280 = 0\] \[y^2 + 23y - 140 = 0\]
  Показать пошаговые вычисления

  Решим квадратное уравнение относительно y: \[D = 23^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-140) = 529 + 560 = 1089 = 33^2\] \[y_1 = \frac{-23 + 33}{2} = \frac{10}{2} = 5\] \[y_2 = \frac{-23 - 33}{2} = \frac{-56}{2} = -28\]
• Подставим найденные значения y в уравнение для x:
• Если y = 5, то \[x = 14 - 2 \cdot 5 = 14 - 10 = 4\]
• Если y = -28, то \[x = 14 - 2 \cdot (-28) = 14 + 56 = 70\]
• Проверим найденные решения, подставив их в исходное уравнение: Для (4; 5): \[\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{5 - 4}{20} = \frac{1}{20}\] - верно. Для (70; -28): \[\frac{1}{70} - \frac{1}{-28} = \frac{1}{70} + \frac{1}{28} = \frac{2 + 5}{140} = \frac{7}{140} = \frac{1}{20}\] - верно.
• Система имеет два решения: (4; 5) и (70; -28).

Ответ: (x=10, y=2)