2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 41 см? а его площадь равна 180 см². Найдите катеты этого треугольника.

Ответ: Катеты равны 9 см и 40 см.

Решение:

• Пусть катеты треугольника равны a и b.
• По теореме Пифагора: \[a^2 + b^2 = 41^2\]
• Площадь треугольника: \[\frac{1}{2}ab = 180\]
• Таким образом, имеем систему уравнений: \[\begin{cases} a^2 + b^2 = 1681 \\ ab = 360 \end{cases}\]
• Выразим b из второго уравнения: \[b = \frac{360}{a}\]
• Подставим в первое уравнение: \[a^2 + \left(\frac{360}{a}\right)^2 = 1681\] \[a^2 + \frac{129600}{a^2} = 1681\] \[a^4 - 1681a^2 + 129600 = 0\]
• Решим квадратное уравнение относительно a². Пусть t = a²: \[t^2 - 1681t + 129600 = 0\]
  Показать пошаговые вычисления

  \[D = (-1681)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 129600 = 2825761 - 518400 = 2307361 = 1519^2\] \[t_1 = \frac{1681 + 1519}{2} = \frac{3200}{2} = 1600\] \[t_2 = \frac{1681 - 1519}{2} = \frac{162}{2} = 81\]
• Тогда a² = 1600 или a² = 81. Следовательно, a = 40 или a = 9.
• Если a = 40, то \[b = \frac{360}{40} = 9\]
• Если a = 9, то \[b = \frac{360}{9} = 40\]
• Таким образом, катеты равны 9 см и 40 см.

Ответ: Катеты равны 9 см и 40 см.