4. Решите систему уравнений 1) $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 17, \ x + xy + y = 9; \ \end{cases}$$

Решим систему уравнений: $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 17 \ x + xy + y = 9 \end{cases}$$

Преобразуем второе уравнение:

$$x + xy + y = 9$$ $$x + y + xy = 9$$

Введём новые переменные:

$$u = x + y$$ $$v = xy$$

Тогда система уравнений примет вид:

$$\begin{cases} (x + y)^2 - 2xy = 17 \ x + y + xy = 9 \end{cases}$$

$$\begin{cases} u^2 - 2v = 17 \ u + v = 9 \end{cases}$$

Выразим $$v$$ из второго уравнения:

$$v = 9 - u$$

Подставим в первое уравнение:

$$u^2 - 2(9 - u) = 17$$

$$u^2 - 18 + 2u = 17$$

$$u^2 + 2u - 35 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 2^2 - 4(1)(-35) = 4 + 140 = 144$$

$$u_1 = \frac{-2 + \sqrt{144}}{2} = \frac{-2 + 12}{2} = 5$$

$$u_2 = \frac{-2 - \sqrt{144}}{2} = \frac{-2 - 12}{2} = -7$$

Найдем соответствующие значения $$v$$:

$$v_1 = 9 - u_1 = 9 - 5 = 4$$

$$v_2 = 9 - u_2 = 9 - (-7) = 16$$

Получили две системы:

1) $$\begin{cases} x + y = 5 \ xy = 4 \end{cases}$$

2) $$\begin{cases} x + y = -7 \ xy = 16 \end{cases}$$

Решим первую систему:

$$y = 5 - x$$

$$x(5 - x) = 4$$

$$5x - x^2 = 4$$

$$x^2 - 5x + 4 = 0$$

$$D = (-5)^2 - 4(1)(4) = 25 - 16 = 9$$

$$x_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4$$

$$x_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1$$

$$y_1 = 5 - x_1 = 5 - 4 = 1$$

$$y_2 = 5 - x_2 = 5 - 1 = 4$$

Решим вторую систему:

$$y = -7 - x$$

$$x(-7 - x) = 16$$

$$-7x - x^2 = 16$$

$$x^2 + 7x + 16 = 0$$

$$D = 7^2 - 4(1)(16) = 49 - 64 = -15 < 0$$

Корней нет.

Ответ: $$(4; 1), (1; 4)$$.