3. Решите систему уравнений √x + √y = 5, √x ⋅ √y = 4.

Решим систему уравнений

$$\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5, \\ \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = 4. \end{cases}$$

1. Выразим $$\sqrt{y}$$ из первого уравнения: $$\sqrt{y} = 5 - \sqrt{x}$$.
2. Подставим во второе уравнение: $$\sqrt{x} \cdot (5 - \sqrt{x}) = 4$$.
3. Упростим: $$5\sqrt{x} - x = 4$$.
4. Перенесем все в одну сторону: $$x - 5\sqrt{x} + 4 = 0$$.
5. Сделаем замену $$t = \sqrt{x}$$, тогда $$t^2 = x$$.
6. Получим уравнение: $$t^2 - 5t + 4 = 0$$.
7. Решим квадратное уравнение: $$t^2 - 5t + 4 = 0$$.
   Дискриминант: $$D = (-5)^2 - 4(1)(4) = 25 - 16 = 9$$.
   Корни: $$t_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4$$, $$t_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1$$.
8. Найдем x:
• При $$t = 4$$: $$\sqrt{x} = 4$$, $$x = 16$$.
• При $$t = 1$$: $$\sqrt{x} = 1$$, $$x = 1$$.
9. Найдем y:
• При $$x = 16$$: $$\sqrt{y} = 5 - \sqrt{16} = 5 - 4 = 1$$, $$y = 1$$.
• При $$x = 1$$: $$\sqrt{y} = 5 - \sqrt{1} = 5 - 1 = 4$$, $$y = 16$$.

Ответ: (16; 1), (1; 16)