8. Решите систему уравнений: $$\begin{cases} \frac{x+y}{8} + \frac{x-y}{6} = 4 \\ \frac{3x+y}{4} - \frac{2x-3y}{3} = 5 \end{cases}$$

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} \frac{x+y}{8} + \frac{x-y}{6} = 4 \\ \frac{3x+y}{4} - \frac{2x-3y}{3} = 5 \end{cases}$$

Шаг 1: Избавимся от дробей в каждом уравнении.

Для первого уравнения умножим обе части на 24 (наименьшее общее кратное 8 и 6):

$$24 \cdot \frac{x+y}{8} + 24 \cdot \frac{x-y}{6} = 24 \cdot 4$$

$$3(x+y) + 4(x-y) = 96$$

$$3x + 3y + 4x - 4y = 96$$

$$7x - y = 96$$

Для второго уравнения умножим обе части на 12 (наименьшее общее кратное 4 и 3):

$$12 \cdot \frac{3x+y}{4} - 12 \cdot \frac{2x-3y}{3} = 12 \cdot 5$$

$$3(3x+y) - 4(2x-3y) = 60$$

$$9x + 3y - 8x + 12y = 60$$

$$x + 15y = 60$$

Теперь наша система уравнений выглядит так:

$$\begin{cases} 7x - y = 96 \\ x + 15y = 60 \end{cases}$$

Шаг 2: Решим систему уравнений методом подстановки или сложения.

Выразим `y` из первого уравнения: `y = 7x - 96`.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$$x + 15(7x - 96) = 60$$

$$x + 105x - 1440 = 60$$

$$106x = 1500$$

$$x = \frac{1500}{106} = \frac{750}{53}$$

Шаг 3: Найдем `y`.

Подставим найденное значение `x` в выражение для `y`:

$$y = 7 \cdot \frac{750}{53} - 96$$

$$y = \frac{5250}{53} - \frac{96 \cdot 53}{53}$$

$$y = \frac{5250 - 5088}{53}$$

$$y = \frac{162}{53}$$

Ответ:

$$x = \frac{750}{53}, y = \frac{162}{53}$$