3. Решите систему неравенств: x²+x-6≤0. a) {x+3≥-2. x+1,1≥0 б) { x>0 в) {x²-2x-80≤0 x²-2x-24>0

Решение:

a)

Решим первое неравенство:

\[x + 3 \ge -2\]

\[x \ge -5\]

Решим второе неравенство:

\[x + 1.1 \ge 0\]

\[x \ge -1.1\]

Пересечение решений: \[x \in [-5; -1.1]\]

б)

Решим первое неравенство:

\[x^2 + x - 6 \le 0\]

Найдем корни квадратного уравнения:

\[x^2 + x - 6 = 0\]

\[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\]

\[x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2\]

\[x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = -3\]

Отметим их на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

        +              -              +
-------------------(-3)----------------(2)-------------------

Выбираем интервалы со знаком "-", так как знак неравенства ≤:

\[x \in [-3; 2]\]

Решим второе неравенство:

\[x > 0\]

Пересечение решений: \[x \in (0; 2]\]

в)

Решим первое неравенство:

\[x^2 - 2x - 80 \le 0\]

Найдем корни квадратного уравнения:

\[x^2 - 2x - 80 = 0\]

\[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324\]

\[x_1 = \frac{2 + \sqrt{324}}{2} = \frac{2 + 18}{2} = 10\]

\[x_2 = \frac{2 - \sqrt{324}}{2} = \frac{2 - 18}{2} = -8\]

Отметим их на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

        +              -              +
-------------------(-8)----------------(10)-------------------

Выбираем интервалы со знаком "-", так как знак неравенства ≤:

\[x \in [-8; 10]\]

Решим второе неравенство:

\[x^2 - 2x - 24 > 0\]

Найдем корни квадратного уравнения:

\[x^2 - 2x - 24 = 0\]

\[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\]

\[x_1 = \frac{2 + \sqrt{100}}{2} = \frac{2 + 10}{2} = 6\]

\[x_2 = \frac{2 - \sqrt{100}}{2} = \frac{2 - 10}{2} = -4\]

Отметим их на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

        +              -              +
-------------------(-4)----------------(6)-------------------

Выбираем интервалы со знаком "+", так как знак неравенства >:

\[x \in (-\infty; -4) \cup (6; +\infty)\]

Пересечение решений: \[x \in [-8; -4) \cup (6; 10]\]