2. Решите неравенство: a) (x-4)(x+2)≥0; 6) x²+49 > 0; в) х²+10x ≥-24.

Решение:

а)

Найдем нули функции:

\[(x - 4)(x + 2) = 0\]

\[x = 4, x = -2\]

Отметим их на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

        +              -              +
-------------------(-2)----------------(4)-------------------

Выбираем интервалы со знаком "+", так как знак неравенства ≥:

\[x \in (-\infty; -2] \cup [4; +\infty)\]

б)

\[x^2 + 49 > 0\]

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то данное неравенство верно при любом x:

\[x \in (-\infty; +\infty)\]

в)

Перенесем -24 в левую часть:

\[x^2 + 10x + 24 \ge 0\]

Найдем корни квадратного уравнения:

\[x^2 + 10x + 24 = 0\]

\[D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4\]

\[x_1 = \frac{-10 + \sqrt{4}}{2} = \frac{-10 + 2}{2} = -4\]

\[x_2 = \frac{-10 - \sqrt{4}}{2} = \frac{-10 - 2}{2} = -6\]

Отметим их на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

        +              -              +
-------------------(-6)----------------(-4)-------------------

Выбираем интервалы со знаком "+", так как знак неравенства ≥:

\[x \in (-\infty; -6] \cup [-4; +\infty)\]