Решите неравенство (x-7)^2 < \(\sqrt{11(x-7)}\).

Решение:

Перенесём всё в левую часть:

\( (x-7)^2 - \sqrt{11(x-7)} < 0 \)

Пусть \( y = \sqrt{x-7} \). Тогда \( y^2 = x-7 \) и \( (x-7)^2 = (y^2)^2 = y^4 \).

Неравенство примет вид:

\( y^4 - \sqrt{11} y < 0 \)

Вынесем \( y \) за скобки:

\( y(y^3 - \sqrt{11}) < 0 \)

Так как \( y = \sqrt{x-7} \), то \( y \ge 0 \). Следовательно, для выполнения неравенства необходимо, чтобы \( y > 0 \) и \( y^3 - \sqrt{11} < 0 \).

\( y > 0 \) означает \( \sqrt{x-7} > 0 \), что верно при \( x-7 > 0 \), то есть \( x > 7 \).

\( y^3 < \sqrt{11} \)

\( y < \sqrt[3]{\sqrt{11}} \)

\( y < \sqrt[6]{11} \)

Подставляем \( y = \sqrt{x-7} \):

\( \sqrt{x-7} < \sqrt[6]{11} \)

Возведём обе части в квадрат:

\( x-7 < (\sqrt[6]{11})^2 \)

\( x-7 < \sqrt[3]{11} \)

\( x < 7 + \sqrt[3]{11} \)

Учитывая условие \( x > 7 \), получаем:

\( 7 < x < 7 + \sqrt[3]{11} \)

Ответ: \( (7; 7 + \sqrt[3]{11}) \).