351. Решите неравенство \(\frac{-48}{(x + 3)^2 - 10} \ge 0\).

Решим неравенство методом интервалов.

1. Найдем корни знаменателя, приравняв его к нулю:

$$(x + 3)^2 - 10 = 0$$

$$(x+3)^2 = 10$$

$$x+3 = \pm \sqrt{10}$$

$$x = -3 \pm \sqrt{10}$$

То есть \(x_1 = -3 - \sqrt{10}\) и \(x_2 = -3 + \sqrt{10}\)

2. Отметим корни на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое, числитель не должен равняться нулю, знаменатель не должен равняться нулю. Точки \(-3 - \sqrt{10}\) и \(-3 + \sqrt{10}\) выколотые, т.е. не входят в решение, так как обращают знаменатель в ноль.

3. Определим знаки на интервалах:

На интервале \((-\infty; -3 - \sqrt{10})\): возьмем \(x = -10\). Тогда \(\frac{-48}{(-10 + 3)^2 - 10} = \frac{-48}{(-7)^2 - 10} = \frac{-48}{49 - 10} = \frac{-48}{39} < 0\)

На интервале \((-3 - \sqrt{10}; -3 + \sqrt{10})\): возьмем \(x = -3\). Тогда \(\frac{-48}{(-3 + 3)^2 - 10} = \frac{-48}{-10} > 0\)

На интервале \((-3 + \sqrt{10}; +\infty)\): возьмем \(x = 0\). Тогда \(\frac{-48}{(0 + 3)^2 - 10} = \frac{-48}{9 - 10} = \frac{-48}{-1} > 0\)

Выберем интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это интервал \((-3 - \sqrt{10}; -3 + \sqrt{10})\)

Ответ: \(x \in (-3 - \sqrt{10}; -3 + \sqrt{10})\)