20. Решите неравенство \(\frac{12}{x^2-7x-8} \le 0\)

Решим неравенство методом интервалов.

1. Найдем корни знаменателя:

$$x^2 - 7x - 8 = 0$$

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = 7$$

$$x_1 \cdot x_2 = -8$$

Корни: \(x_1 = -1\), \(x_2 = 8\)

2. Отметим корни на числовой прямой:

        +            -            +
----(-1)----(8)---->

3. Определим знаки на интервалах:

• \(x < -1\): \(x = -2\), \(x^2 - 7x - 8 = 4 + 14 - 8 = 10 > 0\), \(\frac{12}{10} > 0\)
• \(-1 < x < 8\): \(x = 0\), \(x^2 - 7x - 8 = -8 < 0\), \(\frac{12}{-8} < 0\)
• \(x > 8\): \(x = 9\), \(x^2 - 7x - 8 = 81 - 63 - 8 = 10 > 0\), \(\frac{12}{10} > 0\)

4. Решение неравенства: \(x \in (-1; 8)\)

Ответ: \(x \in (-1; 8)\)