348. Решите неравенство \(\frac{35}{x^2 - 15x - 100} \le 0.\)

Решим неравенство методом интервалов.

1. Найдем корни знаменателя, приравняв его к нулю:

$$x^2 - 15x - 100 = 0$$

$$D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 225 + 400 = 625$$

$$x_1 = \frac{15 + \sqrt{625}}{2} = \frac{15 + 25}{2} = \frac{40}{2} = 20$$

$$x_2 = \frac{15 - \sqrt{625}}{2} = \frac{15 - 25}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$

2. Определим знаки функции \(f(x) = \frac{35}{x^2 - 15x - 100}\) на интервалах, образованных корнями знаменателя.

Отметим корни на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

      +            -            +
----(-5)--------(20)--------> x

3. Нам нужно найти интервалы, где функция \(f(x)\) меньше или равна 0.

Это интервал между корнями, исключая сами корни, так как в этих точках знаменатель равен нулю и функция не определена.

Таким образом, решение неравенства:

$$x \in (-5; 20)$$

Ответ: \(x \in (-5; 20)\)