Решение треугольника

Дано: треугольник ABC, где AC = $$2\sqrt{2}$$, BC = $$5\sqrt{2}$$, ∠C = 60°.

Найти: AB, ∠A, ∠B.

1. Найдём сторону AB по теореме косинусов:

   Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

   $$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 cdot AC cdot BC cdot \cos{C}$$

   Подставим известные значения:

   $$AB^2 = (2\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2 - 2 cdot 2\sqrt{2} cdot 5\sqrt{2} cdot \cos{60°}$$ $$AB^2 = 8 + 50 - 2 cdot 2\sqrt{2} cdot 5\sqrt{2} cdot \frac{1}{2}$$ $$AB^2 = 58 - 20 = 38$$ $$AB = \sqrt{38}$$

2. Найдём угол A по теореме синусов:

   Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла есть величина постоянная для данного треугольника:

   $$\frac{AB}{\sin{C}} = \frac{BC}{\sin{A}}$$ $$\sin{A} = \frac{BC cdot \sin{C}}{AB}$$ $$\sin{A} = \frac{5\sqrt{2} cdot \sin{60°}}{\sqrt{38}}$$ $$\sin{A} = \frac{5\sqrt{2} cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{38}}$$ $$\sin{A} = \frac{5\sqrt{6}}{2\sqrt{38}} = \frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{19}}$$ $$A = \arcsin{\frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{19}}}$$

3. Найдём угол B:

   Сумма углов треугольника равна 180°:

   $$∠A + ∠B + ∠C = 180°$$ $$∠B = 180° - ∠A - ∠C$$ $$∠B = 180° - 60° - \arcsin{\frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{19}}}$$ $$∠B = 120° - \arcsin{\frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{19}}}$$

Ответ: AB = $$\sqrt{38}$$, ∠A = $$\arcsin{\frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{19}}}$$, ∠B = $$120° - \arcsin{\frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{19}}}$$.