8. Решить однородное уравнение второй степ -5sin²x+cos²x+4sinxcosx=0.

Разбираемся:

Пошаговое решение:

1. Разделим обе части уравнения на \( cos^2x \) (при условии, что cosx ≠ 0): \[ -5tg^2x + 1 + 4tgx = 0 \] \[ 5tg^2x - 4tgx - 1 = 0 \]
2. Пусть \( t = tgx \), тогда уравнение примет вид: \[ 5t^2 - 4t - 1 = 0 \]
3. Решим квадратное уравнение относительно t: Дискриминант: \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36 \) Корни: \( t_1 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{4 + 6}{10} = 1 \) \( t_2 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{4 - 6}{10} = -\frac{1}{5} \)
4. Вернемся к tgx: \( tgx = 1 \) и \( tgx = -\frac{1}{5} \) Решим два уравнения: Для \( tgx = 1 \): \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \) Для \( tgx = -\frac{1}{5} \): \( x = arctg(-\frac{1}{5}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} \)

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \), \( x = arctg(-\frac{1}{5}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} \)