Реши неравенство: $$3x^2 + x - 14 < 0$$. Выбери верный вариант.

Решим неравенство $$3x^2 + x - 14 < 0$$.

Сначала найдем корни квадратного уравнения $$3x^2 + x - 14 = 0$$.

Дискриминант $$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-14) = 1 + 168 = 169$$.

Тогда корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 13}{6} = \frac{12}{6} = 2$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 13}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$$

Теперь разложим квадратный трехчлен на множители:

$$3x^2 + x - 14 = 3(x - x_1)(x - x_2) = 3(x - 2)(x + \frac{7}{3})$$

Решим неравенство методом интервалов:

$$3(x - 2)(x + \frac{7}{3}) < 0$$

Отметим корни на числовой прямой: $$x = -\frac{7}{3}$$ и $$x = 2$$.

Определим знаки на каждом интервале:

• $$x < -\frac{7}{3}$$, например, x = -3: $$3(-3 - 2)(-3 + \frac{7}{3}) = 3(-5)(-\frac{2}{3}) > 0$$
• $$-\frac{7}{3} < x < 2$$, например, x = 0: $$3(0 - 2)(0 + \frac{7}{3}) = 3(-2)(\frac{7}{3}) < 0$$
• $$x > 2$$, например, x = 3: $$3(3 - 2)(3 + \frac{7}{3}) = 3(1)(\frac{16}{3}) > 0$$

Так как неравенство $$3x^2 + x - 14 < 0$$, выбираем интервал, где выражение отрицательно.

Таким образом, решением неравенства является интервал $$\left(-\frac{7}{3}; 2\right)$$.

Ответ: $$\left(-\frac{7}{3}; 2\right)$$