6)

Решение:

Решим иррациональное уравнение:

\[ \sqrt{x+1} + \sqrt{2x+3} = 1 \]

Примечание: Левая часть уравнения представляет собой сумму двух неотрицательных корней. Для того чтобы эта сумма была равна 1, необходимо, чтобы каждый из корней был меньше или равен 1. Однако, при \( x \ge -1 \) (для первого корня) и \( x \ge -3/2 \) (для второго корня), что в совокупности даёт \( x \ge -1 \), наименьшее значение первого корня равно 0 (при \( x=-1 \)), а наименьшее значение второго корня равно \( \sqrt{2(-1)+3} = \sqrt{1} = 1 \). Таким образом, минимальное значение левой части уравнения равно \( 0 + 1 = 1 \) при \( x = -1 \).

Проверим \( x = -1 \):

\[ \sqrt{-1+1} + \sqrt{2(-1)+3} = \sqrt{0} + \sqrt{-2+3} = 0 + \sqrt{1} = 1 \]

Следовательно, \( x = -1 \) является решением.

Попробуем решить аналитически:

1. Перенесём один из корней в правую часть:
2. \[ \sqrt{2x+3} = 1 - \sqrt{x+1} \]
3. Возведём обе части в квадрат:
4. \[ 2x+3 = (1 - \sqrt{x+1})^2 \]
5. \[ 2x+3 = 1 - 2\sqrt{x+1} + (x+1) \]
6. \[ 2x+3 = 1 - 2\sqrt{x+1} + x + 1 \]
7. \[ 2x+3 = x + 2 - 2\sqrt{x+1} \]
8. Выделим корень:
9. \[ 2\sqrt{x+1} = x + 2 - 2x - 3 \]
10. \[ 2\sqrt{x+1} = -x - 1 \]
11. \[ 2\sqrt{x+1} = -(x+1) \]
12. Возведём обе части в квадрат:
13. \[ (2\sqrt{x+1})^2 = (-(x+1))^2 \]
14. \[ 4(x+1) = (x+1)^2 \]
15. \[ 4x+4 = x^2 + 2x + 1 \]
16. Перенесём все члены в одну сторону:
17. \[ x^2 + 2x + 1 - 4x - 4 = 0 \]
18. \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]
19. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \).
20. Корни: \( x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2+4}{2} = 3 \) и \( x_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2-4}{2} = -1 \).
21. Проверим найденные корни в исходном уравнении:
22. Для \( x = 3 \): \( \sqrt{3+1} + \sqrt{2(3)+3} = \sqrt{4} + \sqrt{6+3} = 2 + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5 \). \( 5 \neq 1 \), значит \( x=3 \) — посторонний корень.
23. Для \( x = -1 \): \( \sqrt{-1+1} + \sqrt{2(-1)+3} = \sqrt{0} + \sqrt{-2+3} = 0 + \sqrt{1} = 1 \). \( 1 = 1 \), значит \( x=-1 \) — верный корень.

Ответ: x = -1.