6)

Решение:

Рассмотрим $$\triangle BOK$$ и $$\triangle ROM$$.
1. $$\angle BOK = \angle ROM$$ (вертикальные углы).
2. $$\angle KBO = \angle RMO = 56^{\circ}$$.
3. $$\angle BKO = \angle MRO$$.
Значит $$\triangle BOK = \triangle ROM$$ по стороне и двум углам.
Тогда $$BK = RM$$ и $$KO = MO$$.
И $$BO = RO$$.
$$BO = 6$$ см, $$RO = 7$$ см.
Значит $$\triangle BOK$$ и $$\triangle ROM$$ не равны.
Рассмотрим $$\triangle BOK$$ и $$\triangle ROM$$.
1. $$\angle KBO = 56^{\circ}$$, $$\angle RMO = 56^{\circ}$$.
2. $$\angle BOK = \angle ROM$$ (вертикальные).
3. $$\angle BKO = \angle RMO$$? Нет.
Значит $$\triangle BOK \sim \triangle ROM$$ по двум углам.
$$\frac{BO}{RO} = \frac{KO}{MO} = \frac{BK}{RM}$$.
$$\frac{6}{7} = \frac{KO}{MO} = \frac{BK}{RM}$$.
Рассмотрим $$\triangle KOB$$ и $$\triangle MOR$$.
1. $$\angle KBO = \angle MOR = 56^{\circ}$$.
2. $$\angle BOK = \angle MOR$$ (вертикальные).
3. $$\angle BKO = \angle MRO$$.
Значит $$\triangle KOB = \triangle MOR$$ по стороне и двум углам.
Тогда $$KO = MO$$ и $$BO = RO$$.
$$BO = 6$$ см, $$RO = 7$$ см.
Значит $$\triangle KOB$$ и $$\triangle MOR$$ не равны.
Рассмотрим $$\triangle KOB$$ и $$\triangle ROM$$.
1. $$\angle KBO = 56^{\circ}$$, $$\angle RMO = 56^{\circ}$$.
2. $$\angle BOK = \angle ROM$$ (вертикальные).
3. $$\angle BKO = \angle RMO$$? Нет.
Значит $$\triangle KOB \sim \triangle ROM$$ по двум углам.
$$\frac{KO}{MO} = \frac{BO}{RO} = \frac{KB}{RM}$$.
$$\frac{KO}{MO} = \frac{6}{7}$$.
На рисунке $$x$$ обозначает $$RM$$.
Рассмотрим $$\triangle BOM$$ и $$\triangle RO K$$.
1. $$\angle BOM = \angle ROK$$ (вертикальные).
2. $$\angle OBM = \angle ORK$$? Нет.
3. $$\angle OMB = \angle OKR$$? Нет.
Рассмотрим $$\triangle BOK$$ и $$\triangle ROM$$.
1. $$\angle KBO = \angle RMO = 56^{\circ}$$.
2. $$\angle BOK = \angle ROM$$ (вертикальные).
3. $$\angle BKO = \angle RMO$$? Нет.
Значит $$\triangle BOK \sim \triangle ROM$$ по двум углам.
$$\frac{BO}{RO} = \frac{KO}{MO} = \frac{BK}{RM}$$.
$$\frac{6}{7} = \frac{KO}{MO} = \frac{BK}{RM}$$.
Если $$\angle KBO = \angle RMO = 56^{\circ}$$ и $$\angle BOK = \angle ROM$$, то $$\triangle BOK = \triangle ROM$$.
Тогда $$BK = RM = x$$ и $$KO = MO$$ и $$BO = RO$$.
Но $$BO = 6$$ см и $$RO = 7$$ см. Значит $$\triangle BOK \neq \triangle ROM$$.
Значит $$\triangle BOK \sim \triangle ROM$$.
1. $$\angle KBO = \angle RMO = 56^{\circ}$$.
2. $$\angle BOK = \angle ROM$$ (вертикальные).
3. $$\angle BKO = \angle RMO$$? Нет.
Тогда $$\triangle BOK \sim \triangle ROM$$.
$$\frac{BO}{RO} = \frac{KO}{MO} = \frac{BK}{RM}$$.
$$\frac{6}{7} = \frac{KO}{MO} = \frac{BK}{RM}$$.
На рисунке $$x$$ обозначает $$RM$$.
И $$\angle KBO = \angle RMO = 56^{\circ}$$.
И $$\angle BOK = \angle ROM$$ (вертикальные).
Значит $$\triangle BOK \sim \triangle ROM$$.
$$\frac{BO}{RO} = \frac{KO}{MO} = \frac{BK}{RM}$$.
$$\frac{6}{7} = \frac{KO}{MO} = \frac{BK}{RM}$$.
Если $$\angle KBO = \angle RMO = 56^{\circ}$$ и $$\angle BKO = \angle ROM$$, то $$\triangle BOK = \triangle ROM$$.
Но $$\angle BKO$$ и $$\angle ROM$$ не равны.
На рисунке $$x = RM$$.
$$\triangle BOK \sim \triangle ROM$$.
$$\frac{BO}{RO} = \frac{BK}{RM}$$.
$$\frac{6}{7} = \frac{BK}{x}$$.
$$x = \frac{7}{6} BK$$.
Если $$\angle KBO = \angle RMO = 56^{\circ}$$ и $$\angle BOK = \angle ROM$$, то $$\triangle BOK = \triangle ROM$$.
Но $$BO \neq RO$$.
Значит $$\triangle BOK \sim \triangle ROM$$.
$$\frac{BO}{RO} = \frac{BK}{RM}$$.
$$\frac{6}{7} = \frac{BK}{x}$$.
$$x = \frac{7}{6} BK$$.
Ответ: x = RM