Разность двух углов равнобедренного треугольника равна 80°. Найдите углы при основании.

Решение:

В равнобедренном треугольнике возможны два случая:

1. Случай 1: Разность равна углу при вершине и одному из углов при основании.
   Пусть углы треугольника равны \(  \alpha,  \alpha,    \beta \), где \(   \beta \) — угол при вершине.
   \(   \beta -  \alpha = 80^° \).
   \(  \alpha +  \alpha +   \beta = 180^° \) → \( 2 \alpha +   \beta = 180^° \).
   Выразим \(   \beta \): \(   \beta =  \alpha + 80^° \).
   Подставим во второе уравнение: \( 2 \alpha +  \alpha + 80^° = 180^° \) → \( 3 \alpha = 100^° \) → \(  \alpha = \frac{100^°}{3} \).
   Тогда \(   \beta = \frac{100^°}{3} + 80^° = \frac{100^° + 240^°}{3} = \frac{340^°}{3} \).
   Углы: \( \frac{100^°}{3}, \frac{100^°}{3}, \frac{340^°}{3} \). Сумма углов \( \frac{100+100+340}{3} = \frac{540}{3} = 180^° \). Один из углов \( \frac{340}{3} > 180^° \), что невозможно.
2. Случай 2: Разность равна двум углам при основании.
   \(  \alpha -  \alpha = 80^° \) → \( 0 = 80^° \) — невозможно.
   Случай 3: Разность равна одному углу при основании и углу при вершине.
   Пусть \(  \alpha \) — угол при основании, \(   \beta \) — угол при вершине.
   \(  \alpha -   \beta = 80^° \).
   \( 2 \alpha +   \beta = 180^° \).
   Выразим \(  \alpha \): \(  \alpha =   \beta + 80^° \).
   Подставим во второе уравнение: \( 2(  \beta + 80^°) +   \beta = 180^° \) → \( 2  \beta + 160^° +   \beta = 180^° \) → \( 3  \beta = 20^° \) → \(   \beta = \frac{20^°}{3} \).
   Тогда \(  \alpha = \frac{20^°}{3} + 80^° = \frac{20^° + 240^°}{3} = \frac{260^°}{3} \).
   Углы при основании: \( \frac{260^°}{3} \).
   Угол при вершине: \( \frac{20^°}{3} \).
   Сумма углов: \( 2  \frac{260^°}{3} + \frac{20^°}{3} = \frac{520^° + 20^°}{3} = \frac{540^°}{3} = 180^° \).
   

Ответ: Углы при основании равны $$\frac{260^°}{3}$$ (или $$86.67^°$$), угол при вершине равен $$\frac{20^°}{3}$$ (или $$6.67^°$$).