Расстояние между пристанями А и в равно 140 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 52 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Пусть $$v$$ - скорость яхты в неподвижной воде, тогда скорость яхты по течению $$v + 4$$ км/ч, против течения $$v - 4$$ км/ч. Плот проплыл 52 км со скоростью течения 4 км/ч, значит время, которое он был в пути, равно: $$t = \frac{52}{4} = 13 \text{ часов}$$ Яхта была в пути на 1 час меньше, то есть 12 часов. Пусть $$t_1$$ - время, которое яхта плыла от А до В, тогда $$12 - t_1$$ - время, которое яхта плыла от В до А. Расстояние от А до В равно 140 км. Тогда: $$(v + 4)t_1 = 140$$ $$(v - 4)(12 - t_1) = 140$$ Выразим $$t_1$$ из первого уравнения: $$t_1 = \frac{140}{v + 4}$$ Подставим во второе уравнение: $$(v - 4)(12 - \frac{140}{v + 4}) = 140$$ $$12v + 48 - \frac{140v}{v + 4} + \frac{560}{v + 4} = 140$$ $$12v - 92 = \frac{140v - 560}{v + 4}$$ $$(12v - 92)(v + 4) = 140v - 560$$ $$12v^2 + 48v - 92v - 368 = 140v - 560$$ $$12v^2 - 44v - 368 - 140v + 560 = 0$$ $$12v^2 - 184v + 192 = 0$$ $$3v^2 - 46v + 48 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = (-46)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 48 = 2116 - 576 = 1540$$ $$v = \frac{46 \pm \sqrt{1540}}{6}$$ $$v = \frac{46 \pm 2\sqrt{385}}{6} = \frac{23 \pm \sqrt{385}}{3}$$ $$v_1 = \frac{23 + \sqrt{385}}{3} \approx 13.86$$ $$v_2 = \frac{23 - \sqrt{385}}{3} \approx 1.47$$ По условию, скорость течения равна 4 км/ч, тогда скорость яхты должна быть больше 4 км/ч. Значит, $$v \approx 13.86$$ не подходит. Решим задачу другим способом: $$t = 52/4 = 13$$ часов плыл плот $$t_я = 12$$ часов плыла яхта $$S = (v+4)t_1 + (v-4)(12-t_1) = 140 + 140 = 280$$ $$(v+4)t_1 = 140$$ $$t_1 = 140/(v+4)$$ $$S = (v+4)(140/(v+4)) + (v-4)(12 - 140/(v+4)) = 280$$ $$140 + (v-4)(12 - 140/(v+4)) = 280$$ $$(v-4)(12 - 140/(v+4)) = 140$$ $$12v - 140v/(v+4) - 48 + 560/(v+4) = 140$$ $$12v^2 + 48v - 140v - 48v - 192 + 560 - 140v - 560 = 0$$ $$12v^2 - 280v + 192 = 0$$ $$3v^2 - 70v + 48 = 0$$ $$D = 4900 - 576 = 4324 = 66^2$$ $$v = (70 \pm 66)/6 = 136/6 \approx 22.67$$ км/ч или $$4/6 \approx 0.67$$ км/ч (не подходит) Ответ: 22.67