027.24. Расстояние 210 км катер проходит по течению реки на 4 ч быстрее, чем против течения. Определите собственную скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.

Решение:

Пусть v – собственная скорость катера (км/ч). Тогда:

1. Время движения катера по течению реки:

   \[t_1 = \frac{210}{v + 3}\]

2. Время движения катера против течения реки:

   \[t_2 = \frac{210}{v - 3}\]

3. Известно, что время движения по течению на 4 часа меньше, чем против течения. Составим уравнение:

   \[\frac{210}{v - 3} - \frac{210}{v + 3} = 4\]

4. Решим уравнение:

   Показать решение уравнения

   1. Приведем к общему знаменателю: \[\frac{210(v + 3) - 210(v - 3)}{(v - 3)(v + 3)} = 4\]
   2. Упростим числитель: \[\frac{210v + 630 - 210v + 630}{v^2 - 9} = 4\] \[\frac{1260}{v^2 - 9} = 4\]
   3. Умножим обе части на (v^2 - 9): \[1260 = 4(v^2 - 9)\]
   4. Раскроем скобки: \[1260 = 4v^2 - 36\]
   5. Приведем к квадратному уравнению: \[4v^2 = 1296\] \[v^2 = 324\]
   6. Решим уравнение: \[v = \pm \sqrt{324} = \pm 18\]
   7. Так как скорость не может быть отрицательной, то подходит только v = 18.

Ответ: 18 км/ч

Проверка за 10 секунд: Собственная скорость катера составляет 18 км/ч. Подставив это значение в исходное уравнение, можно убедиться, что разница во времени между движением против течения и по течению составляет 4 часа.

Запомни: При решении задач на движение по реке полезно явно выражать время движения по течению и против течения через собственную скорость и скорость течения реки.