027.21. Лодочник проплыл 3 км по течению реки и 3 км против течения за то же время, за которое плот мог бы проплыть 4 км по течению. Собственная скорость лодки равна 6 км/ч. Найдите скорость течения реки.

Решение:

Пусть x – скорость течения реки (км/ч). Тогда:

1. Плот проплыл 4 км по течению. Зная, что скорость плота равна скорости течения реки, можем найти время, которое он затратил:

   \[t = \frac{S}{V} = \frac{4}{x}\]

2. Лодочник проплыл 3 км по течению со скоростью (6 + x) км/ч, затратив время:

   \[t_1 = \frac{3}{6 + x}\]

3. Против течения лодочник плыл со скоростью (6 - x) км/ч, затратив время:

   \[t_2 = \frac{3}{6 - x}\]

4. Общее время, затраченное лодочником, равно времени, за которое плот проплыл 4 км. Составим уравнение:

   \[\frac{3}{6 + x} + \frac{3}{6 - x} = \frac{4}{x}\]

5. Решим уравнение:

   Показать решение уравнения

   1. Приведем к общему знаменателю: \[\frac{3(6 - x) + 3(6 + x)}{(6 + x)(6 - x)} = \frac{4}{x}\]
   2. Упростим числитель: \[\frac{18 - 3x + 18 + 3x}{36 - x^2} = \frac{4}{x}\] \[\frac{36}{36 - x^2} = \frac{4}{x}\]
   3. Перемножим крест-накрест: \[36x = 4(36 - x^2)\] \[36x = 144 - 4x^2\]
   4. Приведем к квадратному уравнению: \[4x^2 + 36x - 144 = 0\] Разделим на 4: \[x^2 + 9x - 36 = 0\]
   5. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4(1)(-36) = 81 + 144 = 225\] \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{225}}{2} = \frac{-9 + 15}{2} = \frac{6}{2} = 3\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{225}}{2} = \frac{-9 - 15}{2} = \frac{-24}{2} = -12\]
   6. Так как скорость не может быть отрицательной, то подходит только x = 3.

Ответ: 3 км/ч

Проверка за 10 секунд: Скорость течения реки составляет 3 км/ч. Подставив это значение в исходное уравнение, можно убедиться, что время, затраченное лодкой на путь по течению и против течения, равно времени, за которое плот проплыл 4 км.

Читерский прием: При решении задач на движение по реке всегда помни, что скорость по течению равна сумме собственной скорости и скорости течения, а скорость против течения равна разности собственной скорости и скорости течения.