Разберем предложения и расставим недостающие запятые, где это необходимо, учитывая, что речь идет только об обязательном обособлении оборотов.
Полк благодаря строгости полкового командира был в прекрасном состоянии.
В данном предложении нет оборотов, требующих обособления запятыми. Обстоятельство причины «благодаря строгости полкового командира» не обособляется, так как стоит в начале предложения и тесно связано со сказуемым.
Благодаря тебе, мы всё-таки закончили ремонт!
Здесь нужно выделить запятой оборот «благодаря тебе», так как он имеет значение причины и обособляется.
Несмотря на свою доброту, он собрал несколько матросов на тайное совещание о поступках боцмана-зверя.
Оборот «Несмотря на свою доброту» обособляется запятой, так как является обстоятельством уступки.
Вдоль поезда мечутся шпики и жандармы, невзирая на проливной дождь.
Оборот «невзирая на проливной дождь» выделяется запятой, так как является обстоятельством уступки и стоит после определяемого слова.
Начиная с 25 февраля я каждый день буду бегать по утрам.
Оборот «начиная с 25 февраля» не требует обособления, так как является обстоятельством времени и стоит в начале предложения.
В силу обстоятельств мы не можем прийти на выпускной.
В данном предложении обособление не требуется, так как «в силу обстоятельств» - это обстоятельство причины, стоящее в начале предложения и тесно связанное со сказуемым.