Радиус сферы равен 99 см. Точка находится на касательной плоскости на расстоянии 20 см от точки касания. Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы.

Решение:

Пусть \( O \) — центр сферы, \( R \) — её радиус \( R = 99 \) см.

Пусть \( K \) — точка касания сферы с плоскостью.

Пусть \( P \) — точка на касательной плоскости, находящаяся на расстоянии 20 см от точки касания \( K \). То есть \( PK = 20 \) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( PKO \) (так как \( OK \) — радиус, перпендикулярный касательной плоскости в точке касания).

Катеты этого треугольника: \( OK = R = 99 \) см и \( PK = 20 \) см.

Гипотенуза \( PO \) — это расстояние от точки \( P \) до центра сферы \( O \). Найдем его по теореме Пифагора:

\[ PO = \sqrt{OK^2 + PK^2} = \sqrt{99^2 + 20^2} = \sqrt{9801 + 400} = \sqrt{10201} \]

Извлекая корень, получаем \( PO = 101 \) см.

Ближайшая к точке \( P \) точка сферы лежит на отрезке \( PO \). Расстояние от точки \( P \) до этой точки сферы равно разности расстояния \( PO \) до центра и радиуса сферы \( R \):

\[ \(\text{Расстояние}\) = PO - R = 101 \(\text{ см}\) - 99 \(\text{ см}\) = 2 \) см.

Ответ: 2 см.