Прямоугольный треугольник с катетами 12 и 5 см вращается вокруг большего катета. Вычислить площадь полной поверхности полученной фигуры.

Решение:

При вращении прямоугольного треугольника вокруг большего катета образуется конус.

Больший катет является высотой конуса: \( h = 12 \) см.

Меньший катет является радиусом основания конуса: \( r = 5 \) см.

Генерирующий образующую конуса \( l \) можно найти по теореме Пифагора:

\[ l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \) см.

Площадь полной поверхности конуса складывается из площади боковой поверхности и площади основания:

\[ S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} \]

Площадь боковой поверхности конуса:

\[ S_{бок} = \(\pi\) r l = \(\pi\) \(\cdot\) 5 \(\cdot\) 13 = 65\(\pi\) \) см².

Площадь основания конуса (круг):

\[ S_{осн} = \(\pi\) r^2 = \(\pi\) \(\cdot\) 5^2 = 25\(\pi\) \) см².

Площадь полной поверхности:

\[ S_{полн} = 65\(\pi\) + 25\(\pi\) = 90\(\pi\) \) см².

Ответ: \( 90\pi \) см².