Прямые MA и MB касаются в точках А и В окружности центром О. Найдите ∠OAB, если ∠AMB = 56°.

Дано:

• MA и MB — касательные к окружности с центром О.
• A и B — точки касания.
• ∠AMB = 56°

Найти: ∠OAB

Решение:

1. Свойства касательных: Радиусы, проведенные к точкам касания, перпендикулярны касательным. Значит, ∠OAM = 90° и ∠OBM = 90°.
2. Рассмотрим четырехугольник AMBO: Сумма углов четырехугольника равна 360°.
3. Угол ∠AOB: ∠AOB + ∠OAM + ∠AMB + ∠OBM = 360°. Подставляем известные значения: ∠AOB + 90° + 56° + 90° = 360°.
4. Вычисляем ∠AOB: ∠AOB + 236° = 360° → ∠AOB = 360° - 236° = 124°.
5. Рассмотрим треугольник ΔOAB: OA и OB — радиусы окружности, поэтому ΔOAB — равнобедренный.
6. Углы при основании: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠OAB = ∠OBA.
7. Сумма углов треугольника: ∠AOB + ∠OAB + ∠OBA = 180°.
8. Подставляем ∠AOB: 124° + ∠OAB + ∠OAB = 180°.
9. Решаем уравнение: 124° + 2∠OAB = 180° → 2∠OAB = 180° - 124° → 2∠OAB = 56° → ∠OAB = 28°.

Ответ: 28°