290 - Прямые а и b параллельны. Докажите, что середины всех отрезков ХҮ, где Х ∈ a, Ү ∈ b, лежат на прямой, параллельной прямым а и b и равноудалённой от этих прямых.

Доказательство:

1. Рассмотрим две параллельные прямые a и b. Возьмем произвольный отрезок XY, где точка X лежит на прямой a, а точка Y лежит на прямой b. Пусть точка M - середина отрезка XY.

2. Поскольку все середины таких отрезков должны лежать на одной прямой, рассмотрим еще один отрезок X1Y1, где X1 лежит на прямой a, а Y1 лежит на прямой b. Пусть точка M1 - середина отрезка X1Y1.

3. Соединим точки M и M1. Докажем, что прямая MM1 параллельна прямым a и b.

4. Пусть прямая c - прямая, параллельная a и b и находящаяся на одинаковом расстоянии от обеих прямых. Докажем, что все точки M лежат на прямой c.

5. Расстояние от середины M до прямой a равно половине расстояния между прямыми a и b. Аналогично, расстояние от середины M до прямой b также равно половине расстояния между прямыми a и b. Следовательно, M лежит на прямой c.

6. Аналогично доказывается, что все другие середины отрезков (например, M1) также лежат на прямой c.

Ответ: Доказано, что середины всех отрезков XY лежат на прямой, параллельной прямым a и b и равноудалённой от этих прямых.