279*. Докажите, что все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной.

Пусть дана прямая a. Рассмотрим множество точек, расположенных по одну сторону от прямой a и находящихся на расстоянии h от неё. Необходимо доказать, что эти точки лежат на прямой, параллельной прямой a. Возьмем две произвольные точки A и B из этого множества. Так как A и B находятся на расстоянии h от прямой a, то перпендикуляры, опущенные из A и B на прямую a (назовем точки H и K соответственно), равны h. AH = BK = h Так как точки A и B лежат по одну сторону от прямой a, то AH и BK параллельны и равны. Следовательно, ABKH - прямоугольник, и AB параллельна HK, а значит и прямой a. Таким образом, все точки, равноудаленные от прямой a и лежащие по одну сторону от неё, лежат на прямой, параллельной прямой a.