Прямая, проведённая параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 41, отсекает треугольник, периметр которого равен 83. Найдите периметр трапеции.

Решение:

Обозначим трапецию как \( ABCD \), где \( BC \) — меньшее основание, \( AD \) — большее основание. \( BC = 41 \).

Проведём прямую через конец \( C \) параллельно боковой стороне \( AB \). Эта прямая пересечёт большее основание \( AD \) в точке \( E \). Получаем параллелограмм \( ABCE \).

По условию, \( CE \) отсекает треугольник \( CDE \). Периметр треугольника \( CDE \) равен 83.

Так как \( ABCE \) — параллелограмм, то \( AB = CE \) и \( BC = AE = 41 \).

Периметр треугольника \( CDE \) равен \( CD + DE + CE = 83 \).

Периметр трапеции \( ABCD \) равен \( AB + BC + CD + AD \).

Заменим \( AD \) на \( AE + ED \) и \( AB \) на \( CE \):

Периметр \( ABCD = CE + BC + CD + AE + ED \)

Перегруппируем слагаемые:

Периметр \( ABCD = (CD + DE + CE) + BC + AE \)

Мы знаем, что \( CD + DE + CE = 83 \) (периметр \( CDE \)) и \( BC = 41 \), \( AE = 41 \).

Периметр \( ABCD = 83 + 41 + 41 \)

Периметр \( ABCD = 83 + 82 = 165 \).

Ответ: 165.