6*. Прямая, параллельная основаниям МР и NK трапеции MNPK, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает ее боковые стороны MN и KP в точках A и B соответственно. Найдите длину отрезка АВ, если МР = 24 см, NK = 16 см.

Пусть O – точка пересечения диагоналей трапеции MNPK. Т.к. AB проходит через O и параллельна основаниям, то AO = BO. Обозначим AB = x. Рассмотрим треугольники MNP и AON. Они подобны (AB || MP). Тогда: \(\frac{AO}{MP} = \frac{NO}{NP}\) Аналогично, треугольники NKP и ABO подобны: \(\frac{BO}{NK} = \frac{PO}{PK}\) Так как AO = BO, то: \(\frac{x}{2MP} + \frac{x}{2NK} = 1 \) \(\frac{x}{48} + \frac{x}{32} = 1 \) \(2x+3x = 96 \) \(x = \frac{96}{5} =19.2 \) Ответ: Длина отрезка AB равна 19.2 см.