3. Прямая EF пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках Е и F соответственно так, что ДА + ∠EFC = 180°, а площадь четырехугольника AEFC относится к площади треугольника EBF как 16: 9. Докажите, что треугольник BFE подобен треугольнику ВАС и найдите коэффициент подобия данных треугольников.

Дано: ∠A + ∠EFC = 180°, S(AEFC) : S(EBF) = 16 : 9.

Нужно доказать: ΔBFE ~ ΔВАС, найти k (коэффициент подобия).

Решение:

∠EFC + ∠BFE = 180° (как смежные). Значит, ∠A = ∠BFE.

∠B – общий. Тогда ΔBFE подобен ΔВАС по двум углам (∠BFE = ∠A, ∠B – общий).

S(AEFC) : S(EBF) = 16 : 9, значит, S(ABC) : S(EBF) = (16 + 9) : 9 = 25 : 9.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, то есть $$ k^2 = \frac{S_{EBF}}{S_{ABC}} = \frac{9}{25} $$.

Значит, $$ k = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} $$.

Ответ: Треугольники подобны, коэффициент подобия равен $$ \frac{3}{5} $$.