1. Диагонали четырехугольника ABCD AC и BD пересекаются в точке О так, что ОС = 5 см, ОВ = 6 см, ОА = 15 см, OD = 18 см. Докажите, что в четырехугольнике ABCD BC || AD и найдите отношение треугольников AOD и ВОС.

1. Рассмотрим треугольники AOD и BOC.

Имеем: $$ \frac{AO}{OB} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} $$ и $$ \frac{DO}{OC} = \frac{18}{5} $$.

Так как $$ \frac{AO}{OC} = \frac{15}{5} = 3 $$ и $$ \frac{DO}{OB} = \frac{18}{6} = 3 $$, то $$ \frac{AO}{OC} = \frac{DO}{OB} $$.

Углы AOD и BOC равны как вертикальные. Следовательно, треугольники AOD и COB подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Из подобия треугольников следует равенство углов: ∠DAO = ∠BCO и ∠ADO = ∠CBO. Эти углы являются накрест лежащими углами при прямых AD и BC и секущих AC и BD. Значит, AD || BC.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия $$ k = \frac{AO}{OC} = \frac{DO}{OB} = 3 $$.

Следовательно, отношение площадей треугольников AOD и BOC равно $$ k^2 = 3^2 = 9 $$.

Ответ: $$S_{AOD} : S_{BOC} = 9$$