311. Проводятся испытания Бернулли до первого успеха. Случайная величина / равна 1, если первый успех наступит на чётном испытании, О — если на нечётном. Какое из эт: двух значений более вероятно?

Ответ: Вероятность зависит от вероятности успеха в каждом испытании.

Пусть p — вероятность успеха в одном испытании, а q = 1 - p — вероятность неудачи.

• Вероятность того, что первый успех наступит на первом испытании (нечётном), равна p.
• Вероятность того, что первый успех наступит на втором испытании (чётном), равна q * p.
• Вероятность того, что первый успех наступит на третьем испытании (нечётном), равна q^2 * p.
• Вероятность того, что первый успех наступит на четвертом испытании (чётном), равна q^3 * p.

И так далее.

Теперь сравним вероятности для четных и нечетных испытаний.

• Вероятность того, что первый успех наступит на нечётном испытании: P(нечёт) = p + q^2 * p + q^4 * p + ...
• Вероятность того, что первый успех наступит на чётном испытании: P(чёт) = q * p + q^3 * p + q^5 * p + ...

P(нечёт) - это геометрическая прогрессия с первым членом p и знаменателем q^2, поэтому:

P(нечёт) = p / (1 - q^2) = p / (1 - (1 - p)^2) = p / (1 - (1 - 2p + p^2)) = p / (2p - p^2) = 1 / (2 - p)

P(чёт) - это геометрическая прогрессия с первым членом q * p и знаменателем q^2, поэтому:

P(чёт) = (q * p) / (1 - q^2) = (q * p) / (p * (2 - p)) = q / (2 - p) = (1 - p) / (2 - p)

Сравним P(нечёт) и P(чёт):

• P(нечёт) > P(чёт), если 1 / (2 - p) > (1 - p) / (2 - p)
• 1 > 1 - p
• p > 0

Так как p — это вероятность успеха, то p > 0 всегда. Таким образом, P(нечёт) > P(чёт).

Ответ: Более вероятно, что первый успех наступит на нечётном испытании.