Приведите пример трёхзначного числа, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9.

Давайте найдем такое трехзначное число. Пусть это число будет $$\overline{abc}$$, где $$a$$, $$b$$, и $$c$$ - цифры от 0 до 9, причем $$a
eq 0$$. Мы знаем, что: 1. $$a + b + c = 20$$ 2. $$a^2 + b^2 + c^2$$ делится на 3, но не делится на 9. Поскольку максимальная цифра - 9, минимальное значение для $$a$$ должно быть 2 (иначе, если $$a = 1$$, то $$b + c = 19$$, что невозможно, так как максимальная сумма двух цифр 9 + 9 = 18). Так же, как минимум одна из цифр должна быть больше 6, иначе максимальная сумма трех цифр будет 6 + 6 + 6 = 18. Попробуем различные варианты цифр, чтобы удовлетворить условиям. Начнем с вариантов, где есть цифра 8 или 9. 1. Если одна из цифр 9, то $$a + b + 9 = 20$$, следовательно, $$a + b = 11$$. Возможные пары (a, b): (2, 9), (3, 8), (4, 7), (5, 6), (6, 5), (7, 4), (8, 3), (9, 2). - Рассмотрим число 389: $$3 + 8 + 9 = 20$$. $$3^2 + 8^2 + 9^2 = 9 + 64 + 81 = 154$$. $$154$$ не делится на 3. - Рассмотрим число 479: $$4 + 7 + 9 = 20$$. $$4^2 + 7^2 + 9^2 = 16 + 49 + 81 = 146$$. $$146$$ не делится на 3. - Рассмотрим число 569: $$5 + 6 + 9 = 20$$. $$5^2 + 6^2 + 9^2 = 25 + 36 + 81 = 142$$. $$142$$ не делится на 3. - Рассмотрим число 659: $$6 + 5 + 9 = 20$$. $$6^2 + 5^2 + 9^2 = 36 + 25 + 81 = 142$$. $$142$$ не делится на 3. - Рассмотрим число 749: $$7 + 4 + 9 = 20$$. $$7^2 + 4^2 + 9^2 = 49 + 16 + 81 = 146$$. $$146$$ не делится на 3. - Рассмотрим число 839: $$8 + 3 + 9 = 20$$. $$8^2 + 3^2 + 9^2 = 64 + 9 + 81 = 154$$. $$154$$ не делится на 3. 2. Если одна из цифр 8, то $$a + b + 8 = 20$$, следовательно, $$a + b = 12$$. Возможные пары (a, b): (3, 9), (4, 8), (5, 7), (6, 6), (7, 5), (8, 4), (9, 3). - Рассмотрим число 398: $$3 + 9 + 8 = 20$$. $$3^2 + 9^2 + 8^2 = 9 + 81 + 64 = 154$$. $$154$$ не делится на 3. - Рассмотрим число 488: $$4 + 8 + 8 = 20$$. $$4^2 + 8^2 + 8^2 = 16 + 64 + 64 = 144$$. $$144$$ делится на 9. Попробуем комбинации с 7: 3. Если две цифры 7, тогда $$7+7+c=20$$, значит $$c = 6$$. Тогда число 776. $$7^2 + 7^2 + 6^2 = 49 + 49 + 36 = 134$$. $$134$$ не делится на 3. 4. Рассмотрим число 686. $$6+8+6=20$$, $$6^2+8^2+6^2 = 36 + 64 + 36 = 136$$. $$136$$ не делится на 3. 5. Рассмотрим число 857. $$8+5+7 = 20$$, $$8^2 + 5^2 + 7^2 = 64 + 25 + 49 = 138$$. $$138$$ делится на 3 ($$138/3 = 46$$), но не делится на 9 ($$138/9 = 15.333$$). Таким образом, число 857 является примером трехзначного числа, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9.