Приведи пример и докажи, что для любых трёх множеств А, В, С справедливо: |A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| – |A∩B| – |A∩C| – |B∩C| + |A∩B∩C|.

Давай приведем пример и докажем это равенство.

Пример:

Пусть у нас есть три множества:

• A = {1, 2, 3}
• B = {2, 3, 4}
• C = {3, 4, 5}

Тогда:

• |A| = 3
• |B| = 3
• |C| = 3

Найдем пересечения множеств:

• A ∩ B = {2, 3}, |A ∩ B| = 2
• A ∩ C = {3}, |A ∩ C| = 1
• B ∩ C = {3, 4}, |B ∩ C| = 2
• A ∩ B ∩ C = {3}, |A ∩ B ∩ C| = 1

Найдем объединение множеств:

A ∪ B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5}, |A ∪ B ∪ C| = 5

Проверка формулы:

Подставим найденные значения в формулу:

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

5 = 3 + 3 + 3 - 2 - 1 - 2 + 1

5 = 9 - 5 + 1

5 = 5

Равенство выполняется.

Доказательство:

Формула включений-исключений для трех множеств может быть доказана с использованием диаграмм Венна или с помощью математической индукции. Вот краткое описание логики:

1. Сначала складываем размеры всех трех множеств: |A| + |B| + |C|.
2. Затем вычитаем размеры попарных пересечений, так как элементы, находящиеся в пересечениях, были посчитаны дважды: - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C|.
3. Наконец, добавляем размер тройного пересечения, так как элементы, находящиеся в тройном пересечении, были сначала добавлены три раза, затем вычтены три раза, и теперь их нужно добавить обратно: + |A ∩ B ∩ C|.

Таким образом, формула корректно учитывает все элементы, находящиеся хотя бы в одном из множеств, и не учитывает их более одного раза.