Пример 7. Бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что на первой кости выпало не более 4 очков, при условии, что сумма очков четная.

Пример 7. Вероятность при броске двух костей

Условие: бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что на первой кости выпало не более 4 очков, при условии, что сумма очков четная.

Это задача на условную вероятность. Обозначим события:

• A — на первой кости выпало не более 4 очков (т.е. 1, 2, 3 или 4).


• B — сумма очков на двух костях четная.

Нам нужно найти \( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \).

1. Найдем общее число исходов.

При броске двух костей всего \( 6 \times 6 = 36 \) возможных исходов.

2. Найдем число исходов, где сумма очков четная (событие B).

Сумма четная, если:

• Оба числа нечетные (Н + Н = Ч): 3 нечетных числа (1, 3, 5) на первой кости и 3 нечетных на второй. Итого \( 3 \times 3 = 9 \) исходов.


• Оба числа четные (Ч + Ч = Ч): 3 четных числа (2, 4, 6) на первой кости и 3 четных на второй. Итого \( 3 \times 3 = 9 \) исходов.

Всего исходов для события B: \( 9 + 9 = 18 \).

\( P(B) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} \).

3. Найдем число исходов, где выполняется условие A (на первой кости не более 4) И условие B (сумма четная) (событие \( A \cap B \)).

Рассмотрим случаи, когда на первой кости выпадает 1, 2, 3 или 4, и сумма при этом четная:

• Если на первой кости выпало 1 (нечетное): на второй кости должно выпасть нечетное число (1, 3, 5), чтобы сумма была четной. Исходы: (1,1), (1,3), (1,5) — 3 исхода.


• Если на первой кости выпало 2 (четное): на второй кости должно выпасть четное число (2, 4, 6), чтобы сумма была четной. Исходы: (2,2), (2,4), (2,6) — 3 исхода.


• Если на первой кости выпало 3 (нечетное): на второй кости должно выпасть нечетное число (1, 3, 5), чтобы сумма была четной. Исходы: (3,1), (3,3), (3,5) — 3 исхода.


• Если на первой кости выпало 4 (четное): на второй кости должно выпасть четное число (2, 4, 6), чтобы сумма была четной. Исходы: (4,2), (4,4), (4,6) — 3 исхода.

Всего исходов для события \( A \cap B \): \( 3 + 3 + 3 + 3 = 12 \).

\( P(A \cap B) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3} \).

4. Найдем условную вероятность.

\( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} \times \frac{2}{1} = \frac{2}{3} \).

Ответ: Вероятность равна \( \frac{2}{3} \).