Пример 6. Решите систему уравнений:

1)

Дано:

\(\begin{cases} (3x+7y)^2=10y \\ (3x+7y)^2=10x \end{cases}\)

Решение:

Так как левые части уравнений равны, приравниваем правые части:

\(10y = 10x \implies y = x\)

Подставим \(y=x\) в первое уравнение:

\((3x+7x)^2 = 10x \\ (10x)^2 = 10x \\ 100x^2 = 10x \\ 100x^2 - 10x = 0 \\ 10x(10x-1) = 0\)

Отсюда \(10x=0\) или \(10x-1=0\).

Если \(10x=0\), то \(x=0\). Так как \(y=x\), то \(y=0\). Решение: \((0,0)\).

Если \(10x-1=0\), то \(x=\frac{1}{10}\). Так как \(y=x\), то \(y=\frac{1}{10}\). Решение: \((\frac{1}{10}, \frac{1}{10})\).

Ответ: \((0,0), (\frac{1}{10}, \frac{1}{10})\)

2)

Дано:

\(\begin{cases} y-2x=2 \\ x^2+2xy-y^2=8 \end{cases}\)

Решение:

Из первого уравнения выразим \(y\): \(y = 2x+2\).

Подставим это выражение во второе уравнение:

\(x^2 + 2x(2x+2) - (2x+2)^2 = 8 \\ x^2 + 4x^2 + 4x - (4x^2 + 8x + 4) = 8 \\ x^2 + 4x^2 + 4x - 4x^2 - 8x - 4 = 8 \\ x^2 - 4x - 4 = 8 \\ x^2 - 4x - 12 = 0\)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \(D = (-4)^2 - 4(1)(-12) = 16 + 48 = 64\).

\(x_1 = \frac{4+\sqrt{64}}{2} = \frac{4+8}{2} = 6\)

\(x_2 = \frac{4-\sqrt{64}}{2} = \frac{4-8}{2} = -2\)

Найдем соответствующие значения \(y\):

Если \(x_1=6\), то \(y_1 = 2(6)+2 = 12+2 = 14\).

Если \(x_2=-2\), то \(y_2 = 2(-2)+2 = -4+2 = -2\).

Ответ: \((6,14), (-2,-2)\)

3)

Дано:

\(\begin{cases} x^2+y=7 \\ 2x^2-y=20 \end{cases}\)

Решение:

Сложим два уравнения системы:

\((x^2+y) + (2x^2-y) = 7 + 20 \\ 3x^2 = 27 \\ x^2 = 9 \\ x = \pm 3\)

Найдем соответствующие значения \(y\) из первого уравнения \(y = 7-x^2\):

Если \(x=3\), то \(y = 7-3^2 = 7-9 = -2\). Решение: \((3,-2)\).

Если \(x=-3\), то \(y = 7-(-3)^2 = 7-9 = -2\). Решение: \((-3,-2)\).

Ответ: \((3,-2), (-3,-2)\)

4)

Дано:

\(\begin{cases} x-3y=7 \\ \frac{x}{5} + \frac{y+4}{4} = -1 \end{cases}\)

Решение:

Из первого уравнения выразим \(x\): \(x = 3y+7\).

Подставим это выражение во второе уравнение:

\(\frac{3y+7}{5} + \frac{y+4}{4} = -1\)

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель 20:

\(4(3y+7) + 5(y+4) = -20 \\ 12y + 28 + 5y + 20 = -20 \\ 17y + 48 = -20 \\ 17y = -20 - 48 \\ 17y = -68 \\ y = \frac{-68}{17} = -4\)

Найдем соответствующее значение \(x\):

\(x = 3y+7 = 3(-4)+7 = -12+7 = -5\).

Ответ: \((-5,-4)\)

5)

Дано:

\(\begin{cases} x^2=7y-3 \\ x^2+19=7y+y^2 \end{cases}\)

Решение:

Подставим первое уравнение во второе:

\((7y-3) + 19 = 7y+y^2 \\ 7y+16 = 7y+y^2 \\ 16 = y^2 \\ y = \pm 4\)

Найдем соответствующие значения \(x\) из первого уравнения \(x^2 = 7y-3\):

Если \(y=4\), то \(x^2 = 7(4)-3 = 28-3 = 25 \implies x=\pm 5\). Решения: \((5,4), (-5,4)\).

Если \(y=-4\), то \(x^2 = 7(-4)-3 = -28-3 = -31\). Так как \(x^2 \ge 0\), то действительных решений для \(x\) нет.

Ответ: \((5,4), (-5,4)\)