При выполнении заданий А 8-А 15 укажите ход решения и запишите полученный ответ. А 8. (1 балл) Найдите значение cos а, если известно, что sin a = 12/13. А 9. (1 балл) Решить уравнение 2sin(x+π/2)=1. А 10. (1 балл) Решите уравнение log3 (2-2x)=2log34.

Решение:

1. Задание А8:

   Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \). Подставляем значение \( \sin \alpha = \frac{12}{13} \): \( (\frac{12}{13})^2 + \cos^2 \alpha = 1 \) \( \frac{144}{169} + \cos^2 \alpha = 1 \) \( \cos^2 \alpha = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169} \). \( \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{25}{169}} = \pm \frac{5}{13} \). По графику видно, что угол \( \alpha \) находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Следовательно, \( \cos \alpha = -\frac{5}{13} \).

2. Задание А9:

   Дано уравнение \( 2\sin(x + \frac{\pi}{2}) = 1 \). Разделим обе части на 2: \( \sin(x + \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2} \). Известно, что \( \sin(x + \frac{\pi}{2}) = \cos x \). Таким образом, \( \cos x = \frac{1}{2} \). Общее решение этого уравнения: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

3. Задание А10:

   Дано уравнение \( \log_3 (2 - 2x) = 2\log_3 4 \). Используя свойства логарифмов, правую часть можно переписать как \( \log_3 (4^2) = \log_3 16 \). Получаем уравнение \( \log_3 (2 - 2x) = \log_3 16 \). Приравнивая аргументы логарифмов, имеем: \( 2 - 2x = 16 \). \( -2x = 16 - 2 \) \( -2x = 14 \) \( x = -7 \). Также необходимо учесть область допустимых значений: \( 2 - 2x > 0 \) \( 2 > 2x \) \( 1 > x \). Так как \( -7 < 1 \), корень \( x = -7 \) подходит.

Ответ: А8: -5/13; А9: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \); А10: -7.