4. При пересечении двух хорд одна из них делится на отрезки 6 см и 4 см, а вторая на отрезки, один из которых меньше другого на 5 см. Найти длину второй хорды.

Пусть хорды АВ и СD пересекаются в точке Е. АЕ = 6 см, ВЕ = 4 см.

Пусть СЕ = х, тогда DE = x + 5.

Тогда по теореме о пересекающихся хордах:

$$AE \cdot BE = CE \cdot DE$$ $$6 \cdot 4 = x \cdot (x + 5)$$ $$24 = x^2 + 5x$$ $$x^2 + 5x - 24 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121$$ $$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{121}}{2} = \frac{-5 + 11}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-5 - 11}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$ (не подходит, т.к. длина не может быть отрицательной).

Тогда СЕ = 3 см, DE = 3 + 5 = 8 см.

CD = CE + DE = 3 + 8 = 11 см.

Ответ: 11 см.