5. При каком значении а уравнение х² - ах + 7 = 0 имеет один корень? Или: Решите уравнение: x³ +8x+15=0. |x|

Для того чтобы квадратное уравнение $$x^2 - ax + 7 = 0$$ имело один корень, его дискриминант должен быть равен нулю. Дискриминант вычисляется по формуле $$D = b^2 - 4ac$$, где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения.

В данном случае:

• a = 1
• b = -a
• c = 7

Подставляем значения в формулу:

$$D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = a^2 - 28$$

Чтобы уравнение имело один корень, дискриминант должен быть равен нулю:

$$a^2 - 28 = 0$$

$$a^2 = 28$$

$$a = \pm \sqrt{28} = \pm 2\sqrt{7}$$

Таким образом, уравнение имеет один корень при $$a = 2\sqrt{7}$$ и при $$a = -2\sqrt{7}$$.

Решим уравнение $$\frac{x^3}{|x|} + 8x + 15 = 0$$

Рассмотрим два случая:

1. Если $$x > 0$$, то $$\frac{x^3}{x} + 8x + 15 = 0$$, что упрощается до $$x^2 + 8x + 15 = 0$$.
   Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
   $$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4$$
   $$x_1 = \frac{-8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 2}{2} = -3$$
   $$x_2 = \frac{-8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 2}{2} = -5$$
   Оба корня отрицательные, что противоречит условию $$x > 0$$, поэтому в этом случае решений нет.
2. Если $$x < 0$$, то $$\frac{x^3}{-x} + 8x + 15 = 0$$, что упрощается до $$-x^2 + 8x + 15 = 0$$ или $$x^2 - 8x - 15 = 0$$.
   Найдем дискриминант:
   $$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 64 + 60 = 124$$
   $$x_1 = \frac{8 + \sqrt{124}}{2} = \frac{8 + 2\sqrt{31}}{2} = 4 + \sqrt{31}$$
   $$x_2 = \frac{8 - \sqrt{124}}{2} = \frac{8 - 2\sqrt{31}}{2} = 4 - \sqrt{31}$$
   Так как $$x < 0$$, то подходит корень $$x = 4 - \sqrt{31}$$ (так как $$\sqrt{31} \approx 5.57$$).

Ответ: $$a = \pm 2\sqrt{7}$$, $$x = 4 - \sqrt{31}$$