При каких значениях $$x$$ имеет смысл выражение $$\sqrt{(2x-7)(5-8x)}$$?

Выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть $$(2x-7)(5-8x) \ge 0$$

Решим это неравенство методом интервалов.

1. Найдем нули функции:

$$2x-7 = 0 \Rightarrow 2x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{2} = 3.5$$ $$5-8x = 0 \Rightarrow 8x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{8} = 0.625$$

2. Отметим нули на числовой прямой:

3. Определим знаки на интервалах:

• $$x < 0.625$$: $$(2x-7) < 0$$, $$(5-8x) > 0$$, значит, $$(2x-7)(5-8x) < 0$$
• $$0.625 < x < 3.5$$: $$(2x-7) < 0$$, $$(5-8x) < 0$$, значит, $$(2x-7)(5-8x) > 0$$
• $$x > 3.5$$: $$(2x-7) > 0$$, $$(5-8x) < 0$$, значит, $$(2x-7)(5-8x) < 0$$

4. Выберем интервал, где $$(2x-7)(5-8x) \ge 0$$.

Таким образом, решением неравенства является интервал $$x \in [\frac{5}{8}; \frac{7}{2}]$$.

Ответ: $$x \in [0.625; 3.5]$$