При каких значениях а сумма дробей \frac{a - 3}{a + 1} и \frac{a + 1}{a - 2} дроби \frac{a²+11}{a² - a - 2} ?

Для того чтобы найти сумму дробей, нужно привести их к общему знаменателю. Заметим, что $$a^2 - a - 2 = (a + 1)(a - 2)$$, поэтому общий знаменатель $$ (a + 1)(a - 2)$$. Тогда: $$\frac{a - 3}{a + 1} + \frac{a + 1}{a - 2} = \frac{(a - 3)(a - 2) + (a + 1)(a + 1)}{(a + 1)(a - 2)} = \frac{a^2 - 5a + 6 + a^2 + 2a + 1}{(a + 1)(a - 2)} = \frac{2a^2 - 3a + 7}{(a + 1)(a - 2)}$$ Нам нужно, чтобы выполнялось равенство: $$\frac{2a^2 - 3a + 7}{(a + 1)(a - 2)} = \frac{a^2 + 11}{a^2 - a - 2}$$ $$\frac{2a^2 - 3a + 7}{(a + 1)(a - 2)} = \frac{a^2 + 11}{(a + 1)(a - 2)}$$ $$2a^2 - 3a + 7 = a^2 + 11$$ $$a^2 - 3a - 4 = 0$$ $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$ $$a_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4$$ $$a_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = -1$$ Проверим, что знаменатель не равен нулю при этих значениях: $$a
eq -1$$ и $$a
eq 2$$, значит, $$a = -1$$ не подходит. Тогда, при a = 4, сумма дробей равна $$\frac{a^2 + 11}{a^2 - a - 2}$$. Ответ: a = 4