5.479 Представьте дробь 3/4 в виде: а) разности двух дробей со знаменателями 4, 16 и 20; б) суммы двух дробей со знаменателями 4, 12 и 28.

Для решения задачи 5.479 необходимо представить дробь \(\frac{3}{4}\) в виде разности и суммы двух дробей с указанными знаменателями. а) Представить \(\frac{3}{4}\) в виде разности двух дробей со знаменателями 4, 16 и 20. Нужно найти такие дроби \(\frac{a}{16}\) и \(\frac{b}{20}\), чтобы выполнялось равенство: $$\frac{3}{4} = \frac{a}{16} - \frac{b}{20}$$ Приведем дроби к общему знаменателю (16 * 5 = 80, 20 * 4 = 80, 4 * 20 = 80): $$\frac{3 \cdot 20}{4 \cdot 20} = \frac{a \cdot 5}{16 \cdot 5} - \frac{b \cdot 4}{20 \cdot 4}$$ $$\frac{60}{80} = \frac{5a}{80} - \frac{4b}{80}$$ $$60 = 5a - 4b$$ Подберем значения a и b, например, a = 16, b = 5: $$5 \cdot 16 - 4 \cdot 5 = 80 - 20 = 60$$ Тогда: $$\frac{3}{4} = \frac{16}{16} - \frac{5}{20} = 1 - \frac{1}{4}$$ Однако требуется, чтобы знаменатели были 4, 16 и 20. Представим 1 в виде \(\frac{1}{4} + \frac{3}{4}\), тогда: $$\frac{3}{4} = \frac{4}{4} - \frac{5}{20}$$ $$\frac{4}{4} - \frac{5}{20} = \frac{3}{4}$$ б) Представить \(\frac{3}{4}\) в виде суммы двух дробей со знаменателями 4, 12 и 28. Нужно найти такие дроби \(\frac{c}{12}\) и \(\frac{d}{28}\), чтобы выполнялось равенство: $$\frac{3}{4} = \frac{c}{12} + \frac{d}{28}$$ Приведем дроби к общему знаменателю (4 * 21 = 84, 12 * 7 = 84, 28 * 3 = 84): $$\frac{3 \cdot 21}{4 \cdot 21} = \frac{c \cdot 7}{12 \cdot 7} + \frac{d \cdot 3}{28 \cdot 3}$$ $$\frac{63}{84} = \frac{7c}{84} + \frac{3d}{84}$$ $$63 = 7c + 3d$$ Подберем значения c и d, например, c = 6, d = 7: $$7 \cdot 6 + 3 \cdot 7 = 42 + 21 = 63$$ Тогда: $$\frac{3}{4} = \frac{6}{12} + \frac{7}{28} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$$ $$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$ Ответ: а) \(\frac{3}{4} = \frac{4}{4} - \frac{5}{20}\) б) \(\frac{3}{4} = \frac{6}{12} + \frac{7}{28}\) или \(\frac{3}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\)