Решение:

1) Сечение куба $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ плоскостью, проходящей через точки $$A, C$$ и $$B_1$$.

1. Построим отрезок $$AC$$. Точки $$A$$ и $$C$$ лежат в плоскости $$ABC$$, следовательно, и отрезок $$AC$$ лежит в этой плоскости.
2. Построим отрезок $$B_1C$$. Точки $$B_1$$ и $$C$$ лежат в плоскости $$BCC_1$$, следовательно, и отрезок $$B_1C$$ лежит в этой плоскости.
3. Построим отрезок $$AB_1$$. Точки $$A$$ и $$B_1$$ лежат в плоскости $$ABB_1$$, следовательно, и отрезок $$AB_1$$ лежит в этой плоскости.
4. Плоскость, проходящая через точки $$A, C$$ и $$B_1$$, пересекает плоскость $$ABC$$ по отрезку $$AC$$, плоскость $$BCC_1$$ по отрезку $$B_1C$$ и плоскость $$ABB_1$$ по отрезку $$AB_1$$.
5. Сечение куба $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ плоскостью, проходящей через точки $$A, C$$ и $$B_1$$, представляет собой треугольник $$AB_1C$$.

2) Сечение куба $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ плоскостью, проходящей через прямую $$BD$$ и точку $$C_1$$.

1. Построим прямую $$BD$$. Точки $$B$$ и $$D$$ лежат в плоскости $$ABCD$$, следовательно, и прямая $$BD$$ лежит в этой плоскости.
2. Построим прямую $$C_1D$$. Точки $$C_1$$ и $$D$$ лежат в плоскости $$CDD_1$$, следовательно, и прямая $$C_1D$$ лежит в этой плоскости.
3. Построим прямую $$BC_1$$. Точки $$B$$ и $$C_1$$ не лежат в одной плоскости.
4. Найдем точку пересечения прямой $$BC_1$$ и плоскости $$AA_1D_1D$$. Это будет точка $$K$$.
5. Соединим точки $$K$$ и $$D$$.
6. Соединим точки $$K$$ и $$B$$.
7. Сечение куба $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ плоскостью, проходящей через прямую $$BD$$ и точку $$C_1$$, представляет собой четырехугольник $$BC_1DK$$.