Постройте график функции y = 3x+5/3x²+5x Определите, при каких значениях k прямая у= kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Функция имеет вид: $$y = \frac{3x+5}{3x^2 + 5x} = \frac{3x+5}{x(3x+5)}$$

При $$3x+5
e 0$$, то есть $$x
e -\frac{5}{3}$$, можно сократить дробь:

$$y = \frac{1}{x}$$

График функции $$y = \frac{1}{x}$$ - гипербола.

График исходной функции $$y = \frac{3x+5}{3x^2 + 5x}$$ совпадает с графиком $$y = \frac{1}{x}$$, за исключением точки $$x = -\frac{5}{3}$$, где функция не определена. $$y(-\frac{5}{3}) = \frac{1}{-\frac{5}{3}} = -\frac{3}{5}$$

Значит, функция не определена в точке $$(-\frac{5}{3}, -\frac{3}{5})$$.

Прямая $$y=kx$$ имеет с графиком функции $$y=\frac{1}{x}$$ одну общую точку, если уравнение $$\frac{1}{x} = kx$$ имеет одно решение. Это уравнение эквивалентно $$kx^2 = 1$$, или $$x^2 = \frac{1}{k}$$.

Если $$k > 0$$, то $$x = \pm \frac{1}{\sqrt{k}}$$. Тогда прямая $$y=kx$$ пересекает график $$y = \frac{1}{x}$$ в двух точках.

Если $$k < 0$$, то уравнение $$x^2 = \frac{1}{k}$$ не имеет решений, поэтому прямая $$y = kx$$ не пересекает график $$y = \frac{1}{x}$$.

Если $$k = 0$$, то $$y = 0$$. Прямая $$y = 0$$ пересекает график $$y = \frac{1}{x}$$ в одной точке, которой нет.

Но, кроме того, надо проверить случай, когда прямая $$y=kx$$ проходит через точку, где функция не определена, то есть $$(-\frac{5}{3}, -\frac{3}{5})$$.

Тогда $$-\frac{3}{5} = k(-\frac{5}{3})$$ $$k = \frac{9}{25}$$

Таким образом, прямая $$y = \frac{9}{25}x$$ проходит через точку $$(-\frac{5}{3}, -\frac{3}{5})$$, и не пересекает график функции ни в какой другой точке. Следовательно, при $$k = \frac{9}{25}$$ прямая имеет одну общую точку с графиком.

Ответ: 9/25