22. Постройте график функции y = x+2 x²+2x и определите, при каких значениях к прямая у = kx имеет с графиком одну общую точку.

Построим график функции $$y = \frac{x+2}{x^2+2x}$$.

Сначала упростим функцию:

• $$y = \frac{x+2}{x(x+2)}$$
• $$y = \frac{1}{x}, x
  eq 0, x
  eq -2$$

Таким образом, график функции $$y = \frac{1}{x}$$ с выколотой точкой при $$x = -2$$.

Теперь определим, при каких значениях $$k$$ прямая $$y = kx$$ имеет с графиком одну общую точку.

Прямая $$y = kx$$ всегда проходит через начало координат (0, 0).

Прямая $$y = kx$$ пересекает график функции $$y = \frac{1}{x}$$ в одной точке, если:

• $$kx = \frac{1}{x}$$
• $$kx^2 = 1$$
• $$x^2 = \frac{1}{k}$$

Если $$k > 0$$, то $$x = \pm \sqrt{\frac{1}{k}}$$, то есть две точки пересечения.

Если $$k < 0$$, то нет точек пересечения.

Однако, нужно учесть выколотую точку $$x = -2$$, где $$y = -\frac{1}{2}$$.

Если прямая $$y = kx$$ проходит через эту точку, то $$- \frac{1}{2} = k(-2)$$, откуда $$k = \frac{1}{4}$$.

В этом случае $$x = -2$$ является решением уравнения $$kx = \frac{1}{x}$$.

Значит, при $$k = \frac{1}{4}$$ прямая $$y = kx$$ пересекает график только в точке $$(-2, -\frac{1}{2})$$.

Если $$k = 0$$, то прямая $$y=0$$ пересекает график в бесконечности, что не учитывается.

Таким образом, прямая $$y = kx$$ имеет с графиком одну общую точку при $$k = \frac{1}{4}$$.

Визуализация графика:

Ответ: $$k = \frac{1}{4}$$