Точка Н является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла В треугольника АВС к гипотенузе АС. Найдите СН, если АН = 11, BC = 30.

В прямоугольном треугольнике ABC высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, разделяет треугольник на два подобных треугольника, каждый из которых подобен исходному треугольнику. Значит, треугольник ABH подобен треугольнику CBH.

$$BC^2 = AC \cdot CH$$

$$AC = AH + CH = 11 + CH$$

$$30^2 = (11 + CH) \cdot CH$$

$$900 = 11CH + CH^2$$

$$CH^2 + 11CH - 900 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно CH:

$$D = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-900) = 121 + 3600 = 3721 = 61^2$$

$$CH_1 = \frac{-11 + 61}{2} = \frac{50}{2} = 25$$

$$CH_2 = \frac{-11 - 61}{2} = \frac{-72}{2} = -36$$

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, то CH = 25.

Ответ: 25