22. Постройте график функции \(y=x|x|- |x|-6x\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение: 1. Рассмотрим два случая: когда \(x \geq 0\) и когда \(x < 0\). * Если \(x \geq 0\), то \(|x| = x\), и функция принимает вид: \(y = x^2 - x - 6x = x^2 - 7x\). * Если \(x < 0\), то \(|x| = -x\), и функция принимает вид: \(y = -x^2 + x - 6x = -x^2 - 5x\). 2. Итак, функция имеет вид: \[y = \begin{cases}x^2 - 7x, & x \geq 0 \\ -x^2 - 5x, & x < 0\end{cases}\] 3. Найдем вершины парабол: * Для \(x \geq 0\): \(y = x^2 - 7x\). Вершина параболы: \(x_в = \frac{-(-7)}{2*1} = \frac{7}{2} = 3.5\). Соответственно, \(y_в = (3.5)^2 - 7 * 3.5 = 12.25 - 24.5 = -12.25\). * Для \(x < 0\): \(y = -x^2 - 5x\). Вершина параболы: \(x_в = \frac{-(-5)}{2*(-1)} = -\frac{5}{2} = -2.5\). Соответственно, \(y_в = -(-2.5)^2 - 5 * (-2.5) = -6.25 + 12.5 = 6.25\). 4. Найдем нули функции: * Для \(x \geq 0\): \(x^2 - 7x = 0\), \(x(x - 7) = 0\). Корни: \(x = 0\) и \(x = 7\). * Для \(x < 0\): \(-x^2 - 5x = 0\), \(-x(x + 5) = 0\). Корни: \(x = 0\) и \(x = -5\). 5. Построение графика. График состоит из двух частей параболы. Одна парабола \(y = x^2 - 7x\) определена для \(x \geq 0\), а другая \(y = -x^2 - 5x\) для \(x < 0\). 6. Определение значений \(m\), при которых прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки. Прямая \(y = m\) пересекает график ровно в двух точках, если она проходит через вершину одной из парабол или через точку, где параболы "сшиваются", то есть через начало координат. * Первая вершина имеет координаты (3.5, -12.25). Значит, прямая \(y = -12.25\) имеет две общие точки с графиком. * Вторая вершина имеет координаты (-2.5, 6.25). Значит, прямая \(y = 6.25\) имеет две общие точки с графиком. * В точке (0, 0) происходит "сшивка" графиков. Прямая \(y = 0\) тоже будет иметь две общие точки. Ответ: \(m = -12.25\), \(m = 6.25\), \(m = 0\).