Постройте график функции y = (0.75x² + 0,75x)·|x| / x+1. Определите, при каких значениях m прямая y=m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Привет! Давай разберемся с этой функцией и прямой.

1. Упростим функцию:

Сначала вынесем общий множитель из числителя:

\[ y = \frac{0.75x(x + 1) \cdot |x|}{x + 1} \]

Если x ≠ -1, то мы можем сократить (x + 1):

\[ y = 0.75x \cdot |x| \]

Теперь рассмотрим два случая для |x|:

• Случай 1: x ≥ 0

Тогда |x| = x, и функция принимает вид:

\[ y = 0.75x \cdot x = 0.75x^2 \]

• Случай 2: x < 0

Тогда |x| = -x, и функция принимает вид:

\[ y = 0.75x \cdot (-x) = -0.75x^2 \]

Таким образом, наша функция:

\[ y = \begin{cases} 0.75x^2, & \text{если } x \ge 0 \\ -0.75x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases} \]

Важное замечание: Функция не определена при x = -1. Мы видим, что при x = -1, случай 2 (-0.75x²) даст y = -0.75(-1)² = -0.75. Значит, точка (-1, -0.75) будет «выколотой» из графика.

2. Построим график:

График состоит из двух парабол:

• y = 0.75x² для x ≥ 0 (правая ветвь параболы, направленная вверх).
• y = -0.75x² для x < 0 (левая ветвь параболы, направленная вниз).

3. Найдем значения m, при которых прямая y=m не имеет общих точек с графиком:

Прямая y = m — это горизонтальная линия. Нам нужно найти такие значения m, при которых эта линия не пересекает наш график.

• Верхняя часть графика (y = 0.75x² для x ≥ 0):

  Минимальное значение здесь y = 0 (при x = 0). Верхняя граница не ограничена.

• Нижняя часть графика (y = -0.75x² для x < 0):

  Максимальное значение здесь стремится к 0 (при x, стремящемся к 0). Но точка (-1, -0.75) выколота.

  Значение функции при x = -1: y = -0.75(-1)² = -0.75. Эта точка выколота.

  Если m > 0, прямая y=m пересечет правую ветвь графика.

  Если m = 0, прямая y=m пересечет график в точке (0,0).

  Если m < 0, прямая y=m будет пересекать левую ветвь графика, кроме одного случая.

Ключевой момент: У нас есть «выколотая» точка (-1, -0.75).

Если m = -0.75, то прямая y = -0.75 будет пересекать график только в выколотой точке, то есть не будет иметь общих точек с непрерывной частью графика.

Ответ: m = -0.75