23. Постройте график функции y = x²-|2x+1| и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Раскрываем модуль:
2. Если \( 2x + 1 \geq 0 \), то есть \( x \geq -\frac{1}{2} \), тогда \( |2x + 1| = 2x + 1 \), и функция имеет вид \( y = x^2 - (2x + 1) = x^2 - 2x - 1 \).
3. Если \( 2x + 1 < 0 \), то есть \( x < -\frac{1}{2} \), тогда \( |2x + 1| = -(2x + 1) \), и функция имеет вид \( y = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 \).
4. Шаг 2: Строим график функции:
5. Для \( x \geq -\frac{1}{2} \): \( y = x^2 - 2x - 1 = (x - 1)^2 - 2 \) — парабола с вершиной в точке \( (1, -2) \).
6. Для \( x < -\frac{1}{2} \): \( y = (x + 1)^2 \) — парабола с вершиной в точке \( (-1, 0) \).

Построение графика:

3. Шаг 3: Анализируем график:
4. Прямая \( y = m \) имеет три общие точки с графиком, когда она проходит через вершину параболы \( y = (x + 1)^2 \) и пересекает параболу \( y = x^2 - 2x - 1 \) в двух точках, либо когда она касается одной из ветвей параболы.
5. Прямая \( y = m \) проходит через вершину \( (-1, 0) \), когда \( m = 0 \).
6. Прямая \( y = m \) касается нижней точки параболы \( y = (x-1)^2-2 \) когда \( m = -2 \)

Ответ: m = 0 и m = -2